Órbitas elípticas: Solução de um trauma de infância

Me ocorreu hoje uma problema que me atormentou por muito tempo até que o deixei de lado. O fato é que fiquei bastante desconcertado quando tive contato pela primeira vez com as leis de Kepler; pensei: ora, como assim a força da gravidade torna as órbitas dos planetas elípticas?

Para quem não lembra o que é uma elipse, é a figura formada pelos pontos cuja soma das distâncias até outros dois pontos (chamados focos) é constante. Ela é literalmente uma circunferência achatada (uniformemente). O ponto mais próximo e o mais distante de um foco são os dois pontos mais afastados da elipse (os "bicos").



As leis de Kepler dizem respeito às órbitas planetárias, e Newton posteriormente as deduziu a partir das suas leis da gravitação e da mecânica. Mas não são fatos de compreensão trivial; o enunciado da primeira lei é:

A órbita dos planetas é uma elipse com o Sol em um dos focos.

Por que ela não é circular? O que há no outro foco? São duas perguntas bastante pertinentes. Mas o que realmente me intrigou foi pensar que o planeta vai do ponto mais longe do Sol aproximando-se dele, sendo puxado por ele, e quando finalmente chega no ponto mais próximo, quando a força é mais intensa, começa a se afastar novamente e chega tão longe quanto estava antes. Como pode? Isto realmente não fazia o menor sentido para mim.

Na faculdade essas questões são bem evitadas mostrando-se matematicamente que a órbita é esta mesmo, e dizendo-se que a energia se conserva.

Bom, acho que parte da minha perturbação devia-se a eu não estar acostumado com a noção de conservação de energia. Afinal, todos os sistemas que vemos no mundo são dissipativos ou tem algum fornecimento de energia externa: todos os objetos param de quicar, todos os pêndulos param de oscilar, às vezes até bem rápido. Mas no espaço não há atrito, sem falar que os planetas têm uma inércia (massa) enorme, que custaria muito a parar. Se a energia é constante, a amplitude das oscilações não diminui e portanto, o planeta tem de voltar ao ponto mais longe.

Mas dizer que a energia é constante não responde bem minha inquietude, apenas diz que tem que ser assim. Como o planeta, ao chegar ao ponto mais próximo (periélio), volta a se afastar até atingir o mais distante (afélio)? Notei que uma metáfora interessante para esta questão é pensar por que um pêndulo, ao atingir o mínimo, volta a subir. Ao atingir o mínimo, o pêndulo sobe pois a força do braço do pêndulo (tensão da corda inextensível) muda a direção de sua velocidade. Bom, no caso do planeta, a situação é bem semelhante, no periélio, o planeta está com uma velocidade perpendicular à força, e portanto a força atuará mudando a direção da velocidade. Quanto mais intensa a força, mais rápida é a mudança de direção, de modo que por este raciocínio, se a força da gravidade fosse um pouco maior que 1/d², possivelmente as órbitas não seriam elípticas e os planetas, como eu previa, diminuiriam sua amplitude de oscilação espiralando para o Sol (para a energia se conservar, a velocidade teria de aumentar a cada volta). Isto nos diz que a lei da gravitação é exatamente a suficiente para que órbita seja estável. Ora, isto é algo surpreendente, e se considerarmos que a lei poderia ser outra, é algo extremamente improvável.

Isto me foi confortante, pois achei um ponto de equilíbrio; o meu problema estava no fato de que não é intuitivamente evidente que uma lei de inverso do quadrado da distância tenha essa propriedade, e que me parecia então muito mais provável que ela implicasse num movimento espiralado, como ocorre nos sistemas dissipativos que vemos por aí. Mas ao contrário disso, a lei do inverso do quadrado é exatamente a lei que mantém esta estabilidade, assim, relacionando as duas contingências notáveis, a estabilidade das órbitas e a lei do inverso do quadrado das distâncias, e está resolvido o problema, trata-se de um fato a posteriori, um fenômeno observado, equivalente à própria lei da gravitação (em relação a esta questão).

Existe uma transição que foi um pouco dura para mim em relação à física. O problema é que em algum ponto, é preciso abandonar noções intuitivas do que se está fazendo matematicamente, para se pode utilizar abstrações mais poderosas. Talvez isto não seja realmente um problema, seja só uma questão psicológica de apego à intuição, mas acho que é uma questão um pouco delicada. Afinal, somos muito melhores em saber se estamos fazendo a coisa certa olhando para um gráfico cartesiano do que imaginando bases de auto-vetores em espaços de dimensão infinita. Da mesma forma, enquanto é bastante óbvio que duas retas concorrentes se cruzam em algum lugar, não é óbvio que uma lei do inverso do quadrado gere órbitas estáveis, embora seja facilmente demonstrável matematicamente. Acho que existe sim um problema aí, embora eu não saiba dizer tão bem quão grande e relevante é.

Por hoje é só, outro dia falarei sobre minha antipatia inicial com a trigonometria.