O que é a Lógica?

Em vista de uma das críticas que recebi, estou adotando um estilo mais pessoal e informal desta vez.

Há algum tempo que penso sobre o que é lógica e qual sua relação com a matemática e outras coisas... acho que finalmente cheguei a algum lugar, embora ainda não muito bem resolvido.

A lógica hoje é um ramo de estudos, assim como a matemática, que basicamente se dedica a estudar propriedades de sistemas formais, estabelecendo as regras de inferência (modus ponens), quantificadores (para todo), operações lógicas (não, e) e princípios como a lei de não-contradição (~[A^~A]), ou terceiro excluído ([Av~A]). Há também áreas mais aplicadas, como a lógica linguística ou as lógicas usadas em inteligência artificial.

A lógica é mais fundamental que a matemática, uma vez que é a lógica que permitirá todo o processo de dedução e demonstração, e análises de consistência e independência axiomática. Sem a lógica a matemática é simplesmente um monte de proposições soltas, sem relação entre si.

Acho que a lógica é um estudo formalizado dos princípios do raciocínio, e que isto é fundamentalmente um processamento de informação declarativa. De modo que a lógica estuda como manipular informações declarativas a fim de extrair determinadas outras informações (inferências).

Entretanto, embora isto deixe claro que a lógica é fundamentalmente relacionada à linguagem, não me deixa claro se os princípios da lógica são referentes à mente, à linguagem ou ao mundo. Quero dizer, o que significa dizer que uma coisa não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo? É a identificação de um princípio da nossa cognição (classificamos as coisas assim), da linguagem (embora nossa linguagem permita dizer isto, isto é sem sentido), ou do mundo (as coisas não podem ocorrer e não ocorrer ao mesmo tempo)? Ou ainda uma combinação das três coisas?

Minha suspeita é que a lógica na verdade trate de aspectos fundamentais do modo como usamos as informações que temos para compreender o mundo, mas que de alguma forma seja mais geral do que nossa cognição, isto é, ela na verdade trata de quais os modos de manipular informações de maneira útil, com uma ênfase especial em informações declarativas (uma vez que ela não parece muito preocupada com tratamento estatístico de dados).